Liuoslaskuja

Pitoisuus

Liuoslaskuissa pitoisuus tarkoittaa liuokseen sekoitetun aineen osuutta kokonaisesta prosentteina.
Voimme myös kysyä pitoisuutta esimerkiksi grammoina, jolloin kysytään sekoitetun aineen painoa.

Esimerkki:

"Vesisokeriliuos painaa 200 grammaa. Liuos sisältää 30% sokeria.
Mikä on liuoksen sokeripitoisuus grammoina?"

Ratkaisu:

Jos 200g on 100%, niin voimme
laskea 30 prosenttia yhden prosentin kautta:

$1\% = \frac{200\text{g}}{100} = 2\text{g}$

$30\% = 30 \cdot 2\text{g} = 60\text{g}$

tai yksinkertaisemmalla tavalla:

$30\% = 0,3 \cdot 200\text{g} = 60\text{g}$

tai voimme muistella taulukointimenetelmää:

$100 \cdot x = 200 \cdot 30 $

$x = \frac{200 \cdot 30}{100} = 60 $

Huomaa, että lasku on sama kuin osan laskemisessa:
Osan laskeminen

Esimerkki:

"Vesisokeriliuos painaa 200 grammaa. Liuos sisältää 50 grammaa sokeria.
Mikä on liuoksen sokeripitoisuus?"

Ratkaisu:

Koska 200g sisältää 50g sokeria,
pitoisuus lasketaan siis osuutena kokonaisesta:

$\frac{\text{osa}}{\text{kokonainen}} = \frac{50 \text{ g}}{200 \text{ g}} = 0,25 = 25\%$

Huomaa, että lasku on sama kuin prosenttiluvun laskemisessa:
Prosenttiluvun laskeminen

Esimerkki:

"Vesi painaa 200 grammaa. Veteen lisätään 50 grammaa sokeria.
Mikä on liuoksen sokeripitoisuus?"

Ratkaisu:

Veteen eli 200 grammaan lisätään 50 grammaa sokeria, joten
kokonainen on nyt 200g + 50g:

$\frac{\text{osa}}{\text{kokonainen}} = \frac{50 \text{ g}}{200\text{g} + 50\text{g}} $

$ = \frac{50 \text{ g}}{250 \text{ g}} = 0,20 = 20 \% $

Esimerkki:

"Paljonko 180 grammaan vettä pitää sekoittaa suolaa,
jotta liuoksen suolapitoisuus olisi 10%?"

Ratkaisu:

Nokkela henkilö voisi kokeilla tai arvatakin oikean vastauksen,
mutta tarvitsemme kuitenkin laskutavan, jolla vastaus löytyy millä tahansa luvuilla.

Nyt emme tiedä kokonaista, kokonainen kasvaa lisätyn suolan verran.

Kokeillaan tehdä tiedoista taulukko ja merkitään lisätyn suolan kohdalle x:

Koska lausekeen 180 + x tulos on 100%, laitetaan 180 + x sulkeisiin ja kerrotaan ristiin:

Sulkeiden kertominen
$100 \cdot x = 10 \cdot (180 + x)$

sulkeet voidaan poistaa:

$100 \cdot x = 10 \cdot 180 + 10 \cdot x$

jolloin saamme yhtälön:

$100x = 1800 + 10x$
Yhtälön ratkaisemisesta

vähennetään yhtäsuuruusmerkin molemmilta puolilta 10x:

$100x -10x = 1800 + 10x -10x$

jolloin saamme:

$90x = 1800$

x ratkaistaan jakamalla molemmat puolet 90:llä

$\frac{90x}{90} = \frac{1800}{90}$

joten

$x = 20$

Tarkistetaan vielä vastaus:

$\frac{20}{180 + 20} = \frac{20}{200} = 0,1 = 10\%$

Huomaa, että olisimme voineet ratkaista tehtävän
myös edellisen esimerkin mallin avulla,
jolloin yhtälö olisi:

$\frac{x}{180 + x} = 0,1$

Kerrotaan molemmat puolet lausekkeella (180 + x)

$x = 0,1 \cdot (180 + x)$

ja edelleen sulkeiden poiston kautta

$x = 18 + 0,1x$

vähennetään molemmilta puolilta 0,1x

$0,9x = 18$

ja viimeiseksi jaetaan molemmat puolet 0,9:llä

$x = \frac{18}{0,9} = 20$

Liuosleikkiä

Edellisten lisäksi liuostehtäviä voidaan muotoilla hyvin monella tavalla,
mutta on hyvä tietää muutama klassinen tehtävä, jotka saattavat auttaa muiden variaatioiden tekemistä.

Esimerkki:

"Sinulla on 200 grammaa 15% suolaliuosta ja 300 grammaa 40% suolaliuosta. Sekoitat liuokset. Mikä on sekoituksen suolapitoisuus?"

Ratkaisu:

Sekoitustehtävissä kannattaa yleensä ensin ratkaista sekoitettavien aineiden puuttuvat tiedot,
jotta tietäisimme kaiken liuoksista.

Liuos 1, suolan määrä grammoina:
$0,15 \cdot 200g = 30g$
Liuos 2, suolan määrä grammoina:
$0,4 \cdot 300g = 120g$

Kun tiedämme tarkasti, mitä molemmat sekoitettavat liuokset sisältävät,
voidaan liuokset sekoittaa. Nyt tiedämme täsmälleen mitä sekoitus pitää sisällään grammoina.

Tiedoilla voimme ratkaista uuden suolapitoisuuden:

Sekoitus:
Sekoitus yhteensä:
$300\text{g} + 200\text{g} = 500\text{g}$
Suolan määrä yhteensä:
$120\text{g} + 30\text{g}= 150\text{g}$
Suolapitoisuus:
$\frac{150\text{g}}{500\text{g}} = 0,3 = 30\%$

Esimerkki:

"Kattilassa on 3kg veden ja suolan sekoitusta. Veden suolapitoisuus on 20%.
Kattila kiehuu ja vedestä haihtuu 200g. Mikä on veden suolapitoisuus tämän jälkeen?"

Ratkaisu:

Kuten edellisessä esimerkissä, alkutilanteen tunteminen
läpikotaisin on avain tehtävän tekemiseen.

Lasketaan siis suolan määrä grammoissa, kun kokonainen on 3kg=3000g.

$0,2 \cdot 3000\text{g} = 600\text{g}$

Kun alkutilanne on selvillä voidaan tehdä muutokset.

Suola ei haihdu kattilasta, vedestä haihtuu 200g,
joten uudessa tilanteessa kokonainen muuttuu,
mutta suolan määrä ei muutu.

Uusi kokonainen on

$3000\text{g} - 200\text{g} = 2800\text{g}$

joten uusi suolan pitoisuus pitää laskea

$ \frac{600\text{g}}{2800\text{g}} \approx 0,214 = 21,4\%$

Esimerkki:

"Paljonko 150 grammaan 12 prosenttista suolavettä pitää sekoittaa suolaa,
jotta liuoksen suolapitoisuus olisi 20%?"

Ratkaisu:

Lasketaan ensin suolan määrä grammoina

$0,12 \cdot 150\text{g} = 18\text{g}$

jotta tiedämme aloitustilanteen.

Seuraavaksi luonnostellaan muutos tilanteeseen ja
lisätään suolan määrään tuntematon x.

Muistetaan myös, että kokonainen kasvaa myös yhtä paljon eli x:n verran.

Tiedot taulukossa ovat silloin:

Tiedot voidaan kertoa ristiin:

$100 \cdot (18 + x) = 20 \cdot (150 + x)$

Poistetaan sulkeet:

$1800 + 100x = 3000 + 20x$

Vähennetään 1800 molemmilta puolilta:

$100x = 1200 + 20x$

Vähennetään 20x molemmilta puolilta:

$80x = 1200$

jaetaan molemmat puolet 80:llä

$x = 15$

Tarkistetaan vielä vastaus:

$\frac{18\text{g} + 15\text{g}}{150\text{g} + 15\text{g}} = \frac{33\text{g}}{165\text{g}} = 0,2 = 20\%$

Harjoittele

0/1