Useita muutoksia

Laske arvo

Jos arvo muuttuu useaan kertaan, lopullinen arvo lasketaan vaiheittain.

Esimerkki:

"Tuote maksoi aluksi 200€. Hinta nousi ensin 30%,
mutta seuraavalla viikolla hinta laski 10%.
Mikä on tuotteen lopullinen hinta?"

Ratkaisu:

Lasketaan lopullinen hinta vaihe kerrallaan:

1. Hinnan nousu 30%: uusi hinta on

$1,30 \cdot 200€ = 260€ $

2. Hinnan lasku 10%: Huomaa että nyt kokonainen on 260€, ei enää 200€

$0,9 \cdot 260€ = 234€ $

Huomaa:

Jos yrität laskea hinnan muutoksen ajatuksella:
"Lopullinen hinnan muutos on prosentteina 30%-10%=20%",
saat väärän vastauksen.

Huomaa myös:

Käytämme muuttuneen arvon laskemista.
Voit käyttää myös muita laskutapoja, jotka laskevat muuttuneen arvon.

Toinen tapa laskea sama asia:

Lasku voidaan suorittaa myös yhdessä rivissä:

$ 0,9 \cdot (1,3 \cdot 200€) = 0,9 \cdot 1,3 \cdot 200€ = 234€$

Laske muutosprosentti

Muutosprosentin laskemiseen tarvitaan alkuperäinen arvo ja muutosten jälkeinen lopullinen arvo.

Esimerkki:

"Lentolippu maksoi aluksi 140€. Hinta laski ensin 15% ja vähän ajan kuluttua vielä 10%.
Kuinka monta prosenttia hinta muuttui?"

Ratkaisu:

Lasketaan lopullinen hinta vaihe kerrallaan:

1. Hinnan lasku 15%: uusi hinta on

$0,85 \cdot 140€ = 119€ $

2. Hinnan lasku 10%: Huomaa että nyt kokonainen on 119€, ei enää 140€

$0,9 \cdot 119€ = 107,1€ $

Muutosprosentti laskettiin:

$\frac{\text{arvon muutos}}{\text{alkuperäinen arvo}} = \frac{140€ - 107,1€}{140€} = \frac{32,9€}{140€}$

$\ \ = 0,235 = 23,5\%$

Lisätietoa muutosprosentista:

Muutosprosentti

Toinen tapa laskea sama asia:

Lopullinen hinta lasketaan yhdessä rivissä:

$ 0,9 \cdot (0,85 \cdot 140€) = 0,9 \cdot 0,85 \cdot 140€ = 0,765 \cdot 140€$

jossa lopullisen hinnan kerroin on 0,765 = 76,5%. Hinta on siis laskenut kokonaisesta 100%:ta:

$100\% - 76,5\% = 23,5\%$

Esimerkkejä

"Tuotteen hinta on 100€.
Hinta nousee ensin 50%, jonka jälkeen hinta laskee 50%.
Mikä on tuotteen hinta lopuksi?"

Ratkaisu:
(Vastaus ei ole 100€, vaikka kuinka haluaisi aluksi ajatella niin.)

1. Hinnan nousu 50%: uusi hinta on

$1,5 \cdot 100€ = 150€ $

2. Hinnan lasku 50%: Huomaa että nyt kokonainen on 150€.

$0,5 \cdot 150€ = 75€ $

Laskutapa 2: Voit tehdä myös suoraan

$0,5 \cdot 1,5 \cdot 100€ = 75€ $

"Mikä on edellisen esimerkin muutosprosentti?"

Ratkaisu:

Hinta alussa oli 100€, lopussa 75€, joten muutosprosentti on:

$\frac{\text{arvon muutos}}{\text{alkuperäinen arvo}} = \frac{100€ - 75€}{100€} = \frac{25€}{100€}$

$\ \ = 0,25 = 25\%$

"Lippujen hinta laski ensin 10%. Seuraavana päivänä hinta nousi 20%. Kuinka monta prosenttia hinta muuttui?"

Ratkaisu:

Emme välttämättä tarvitse edes lippujen hintaa, jotta muutosprosentti voidaan laskea.

Jos hinta on tuntematon x, niin hinnan muutokset ovat:

1. Hinnan lasku 10%, hinnasta jää 90% eli uusi hinta on

$0,9 \cdot x$

2. Hinnan nousu 20%, uusi hinta 120% edellisestä, eli uusi hinta on

$1,2 \cdot (0,9 \cdot x) = 1,2 \cdot 0,9 \cdot x = 1,08 \cdot x$

Lopullinen hinta on siis 1,08 = 108% alkuperäisestä, joten hinta nousi

$108\% - 100\% = 8\%$

alkuperäisestä hinnasta.

"Osakkeen hinta oli maanantaiaamuna 25€.
Perjantaina pörssin sulkemisaikaan hinta oli noussut jokaisena päivänä 10%.
Mikä oli osakkeen hinta perjantai-iltana?"

Ratkaisutapa 1:

Voimme laskea viiden päivän nousut vaiheittain:

$\text{maanantai: }1,1 \cdot 25€ = 27,5€$

$\text{tiistai: }1,1 \cdot 27,5€ = 30,25€$

$\text{keskiviikko: }1,1 \cdot 30,25€ = 33,275€$

$\text{torstai: }1,1 \cdot 33,275€ = 36,6025€$

$\text{perjantai: }1,1 \cdot 36,6025€ = 40,26275€ \approx 40,26€$

Ratkaisutapa 2:

Yllä olevassa ratkaisussa toistetaan kertolaskua, jossa edellinen tulos kerrotaan aina luvulla 1,1.
Voimme siis vähän lyhentää laskua:

$\underbrace{1,1 \cdot\ ...\ \cdot 1,1 }_\text{5 kpl} \cdot 25€ = {1,1}^5 \cdot 25 = 40,26275€ \approx 40,26€$

Tätä kutsutaan korkoa korolle -laskuksi.

Harjoittele

0/1